Question

（2011•無錫一模）如圖，已知AB為⊙O的弦，C為⊙O上一點，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于B．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，AB=4，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AD是⊙O的切線只要證明∠OAD=90°即可．
（2）根據勾股定理及圓周角定理即可求得AD的長．
解答：（1）證明：如圖，連接AO并延長交⊙O于點E，連接BE，則∠ABE=90°，
∴∠EAB+∠E=90°．
∵∠E=∠C，∠C=∠BAD，
∴∠EAB+∠BAD=90°．
∴AD是⊙O的切線．

（2）解：由（1）可知∠ABE=90°，直徑AE=2AO=6，AB=4，
∴．
∵∠E=∠C=∠BAD，BD⊥AB，
∴cos∠BAD=cos∠E．
∴．
∴．
點評：本題利用了直徑對的圓周角是直角，圓周角定理，切線的概念，勾股定理，余弦的概念求解．