Question

已知，如圖，直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，⊙M經過原點O及A、B兩點．
（1）求以OA、OB兩線段長為根的一元二方程；
（2）C是⊙M上一點，連接BC交OA于點D，若∠COD=∠CBO，寫出經過O、C、A三點的二次函數的解析式；
（3）若延長BC到E，使DE=2，連接EA，試判斷直線EA與⊙M的位置關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴A（-3，0），B（0，）
∴OA=3，OB=．
以OA，OB兩線段長為根的一元二次方程是：x²-（+3）x+3=0．

（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA
∴∠CBA=∠CBO
∴弧AC=弧OC
∵∠AOB=90°
∴AB為⊙M的直徑．
連接MC交OA于點G．
∴MC⊥OA．
∴OG=AG=OA=．
根據勾股定理得：MG==，
∴MC=AB===
∴CG=MC-MG=-=．
∴C（-，-）．
設經過O，C，A三點的二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，依題意可得：
，
解得：，
因此拋物線的解析式為y=x²+x．

（3）直線EA與⊙M相切，理由如下：
在直角三角形OAB中，
∵OB=，OA=3；
∴tan∠OAB=，
∴∠OAB=30°，
∴∠OBA=60°，
∵∠COD=∠CBO，∠OCD=∠BCO，
∴△OCD∽△BCO，
∴∠CDO=∠BOC，又∠CDO=∠ADB，
∴∠ADB=∠COB，又∠BAD=∠BCO，
∴△ADB∽△COB，
∴∠ABD=∠CBO=∠ABO，
∴∠OBC=30°．
∴∠ADE=∠BDO=60°．
在直角三角形BOD中，OD=OB•tan30°=×=1．
∴AD=2，又DE=2
∴△ADE為等邊三角形．
∴∠OAE=60°
∴∠BAE=30°+60°=90°
∴直線EA與⊙M相切．
分析：（1）本題的關鍵是求出OA，OB的長，可根據過A，B兩點的直線解析式來得出A，B兩點的坐標，即可得出OA，OB的長．進而可根據韋達定理得出所求的一元二次方程．
（2）本題要先求出C點的坐標，已知∠COD=∠CBO，那么C是弧OA的中點，連接MC，可根據垂徑定理求出C點的坐標．而后根據O，A，C三點的坐標即可得出拋物線的解析式．
（3）本題只需證EA⊥AB即可．在直角三角形OBD中，可求得∠BDO=60°，而AD=DE=2，由此可得出三角形ADE是等邊三角形，因此∠DAE=60°，而∠BAO=30°，由此可得出∠BAE=90°，即可得證．
點評：本題主要考查一元二次方程根與系數的關系，二次函數解析式的確定、垂徑定理等知識點．考查學生綜合應用知識、解決問題的能力．