Question

（2002•南通）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AB=AC，BC交⊙O于點D，DE⊥AC，E為垂足．
（1）求證：∠ADE=∠B；
（2）過點O作OF∥AD，與ED的延長線相交于點F，求證：FD•DA=FO•DE．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，證明OD⊥EF，得出EF是⊙O的切線，根據切線的性質得出結論；
（2）通過證明△FDO∽△DEA，得出對應的比例，證明結論．
解答：解：（1）方法一：
證明：連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC．
又∵AB=AC，
∴AD平分∠BAC，即∠OAD=∠CAD．
∴∠ODA=∠DAE=∠OAD．
∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠ODA=90°，即∠ODE=90°，OD⊥DE．
∵OD是⊙O的半徑，
∴EF是⊙O的切線．
∴∠ADE=∠B．
方法二：
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，又DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∴∠ADB=∠DEA，
∵△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，即∠DAE=∠BAD．
∴△DAE∽△BAD．
∴∠ADE=∠B．

（2）證明：∵OF∥AD，
∴∠F=∠ADE．
又∵∠DEA=∠FDO（已證），
∴△FDO∽△DEA．
∴FD：DE=FO：DA，即FD•DA=FO•DE．
點評：本題主要考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質；（2）題乘積的形式通常可以轉化為比例的形式，通過相似三角形的性質得以證明．