Question

如圖，已知點A，B分別在x軸和y軸上，且OA=OB=，點C的坐標是C（）AB與OC相交于點G．點P從O出發以每秒1個單位的速度從O運動到C，過P作直線EF∥AB分別交OA，OB或BC，AC于E，F．解答下列問題：
（1）直接寫出點G的坐標和直線AB的解析式．
（2）若點P運動的時間為t，直線EF在四邊形OACB內掃過的面積為s，請求出s與t的函數關系式；并求出當t為何值時，直線EF平分四邊形OACB的面積．
（3）設線段OC的中點為Q，P運動的時間為t，求當t為何值時，△EFQ為直角三角形．

Answer 1

解：（1）G點的坐標是G（，），
∵OA=OB=3，得出A，B兩點坐標分別為：（3，0），（0，3），
設直線AB的解析式為y=kx+b，則，
解得：，
故直線AB的解析式為：y=-x+3；

（2）∵C的坐標是C（，），
∴OC是∠AOB的角平分線，OC==7，
又∵OA=OB=3，
∴AB==6，
∴∠BAO=∠ABO=∠BOG=∠AOG=45°，
∴∠AGO=90°，即AB⊥OC，
∴OG=3．
①當0＜t≤3時，OP=t，
∵EF∥AB，
∴EF⊥OC，
∴EF=2OP=2t，
∴S=S_△OEF=•EF•OP=•2t•t=t²，
②當3＜t≤7時，設EF與AC交于G′，與BC交于H，
OP=t，CP=7-t，CG=7-OG=7-3=4，
∵EF∥AB，
∴△CHG′∽△CBA，
∴=，
即=，
∴HG′=（7-t），
∴S=S_{四邊形OACB}-S_△CHG′=•AB•CO-HG′•CP
=×6×7-×（7-t）（7-t）
=-t²+t-，
∴s與t的函數關系式是：
S=．
當直線EF平分四邊形OABC的面積時有：-t²+t-=××6×7，
整理得：t²-14t+35=0，
解得：x₁=7+＞7（不符合題意舍去），x₂=7-，
故當t=7-時，直線EF平分四邊形OABC的面積；

（3）①如圖1，當P在線段OQ上，且∠EQF=90°時，
∵EF∥AB，
∴∠OEF=∠OAB=∠OBA=∠OFE=45°，
∴OE=OF，
又∵∠FOG=∠EOG=45°，OQ=OQ，
∴△OEQ≌△OFQ，
∴∠FQO=∠EQO=45°，
∴∠OFQ=∠FOE=∠FQE=90°，
∴四邊形OEQF是正方形，
∴OP=OQ=×=，
即t=時，△EFQ為直角三角形，
②如圖2，當P在線段CQ上，且∠EQF=90°時，
同理可證：△CQF≌△CQE，
∴△QEF是等腰直角三角形，
∴EF=2PQ=2（t-），
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴=，
即=，
解得：t=5，
故當t=或t=5時，△EFQ為直角三角形．
分析：（1）根據AB與OC相交于點G，以及C點橫縱坐標相等得出G點為AB中點，即可得出答案，再利用A，B兩點坐標得出解析式即可；
（2）分別根據當0＜t≤3時，當3＜t≤7時，利用相似三角形的性質得出s與t的關系式即可；
（3）利用①當P在線段OQ上，且∠EQF=90°時，以及②當P在線段CQ上，且∠EQF=90°時，利用相似三角形的性質得出即可．
點評：此題主要考查了一次函數的綜合應用以及相似三角形的性質與判定，利用相似三角形的性質得出對應邊之間關系得出t的值是解題關鍵．