Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，C、D為圓周上兩點，且四邊形OBCD是菱形，過點D的直線EF∥AC，交BA、BC的延長線于點E、F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求DE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證EF是⊙O的切線，只要證明∠2=90°即可．
（2）連接OC，根據菱形的判定和性質先求出∠EOD=∠B=60°，再根據三角函數的知識求出DE的長．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∵四邊形OBCD是菱形，
∴OD∥BC．
∴∠1=∠ACB=90°．
∵EF∥AC，
∴∠2=∠1=90°．
∵OD是半徑，
∴EF是⊙O的切線．

（2）解：連接OC，
∵直徑AB=4，
∴半徑OB=OC=2．
∵四邊形OBCD是菱形，
∴OD=BC=OB=OC=2．
∴∠B=60°．
∵OD∥BC，
∴∠EOD=∠B=60°．
在Rt△EOD中，．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了菱形的判定和性質及三角函數的知識．