Question

如圖，M為正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，E是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，MN⊥DM，且交∠CBE的平分線于N．
（1）求證：MD=MN；
（2）若將上述條件中的“M為AB邊的中點(diǎn)”改為“M為AB邊上任意一點(diǎn)”，其余條件不變，則結(jié)論“MD=MN”成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，說明理由．

Answer 1

（1）證明：取AD的中點(diǎn)F，連接FM．
∵∠FDM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°∴∠FDM=∠BMN，
∵AF=AD=AB=AM=MB=DF，
∵BN平分∠CBE，
∴∠DFM=∠MBN=135°．
∵DF=MB，
在△DFM和△MBN中
∵，
∴△DFM≌△MBN．
∴DM=MN．

（2）解：結(jié)論“DM=MN”仍成立．
證明如下：
在AD上截取AF'=AM，連接F'M．
∵DF'=AD-AF'，MB=AB-AM，AD=AB，AF'=AM，
∴DF'=MB．
∵∠F'DM+∠DMA=∠BMN+∠DMA=90°，
∴∠F'DM=∠BMN．
又∠DF'M=∠MBN=135°，
在△DF'M和△MBN中
∵，
∴△DF'M≌△MBN．
∴DM=MN．
分析：（1）要證MD=MN，就要構(gòu)建△DFM≌△MBN，只需取AD的中點(diǎn)F，連接FM，依據(jù)正方形的性質(zhì)可證
（2）只需作AF=AM，其余證法與1同．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定的知識(shí)．