Question

已知：關于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m為實數）
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求m的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，求證：無論m取何值，拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1總過x軸上的一個固定點；
（3）關于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0有兩個不相等的整數根，把拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1向右平移3個單位長度，求平移后的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據b²-4ac與零的關系即可判斷出的關于x的一元二次方程（m-1）x²+（m-2）x-1=0（m為實數）的解的情況；
（2）用十字相乘法來轉換y=（m-1）x²+（m-2）x-1，即y=[（m-1）x+1]（x-1），則易解；
（3）利用（2）的解題結果x=-1，再根據兩根之積等于-是整數，得出m的值，進而得出平移后的解析式．
解答：解：（1）根據題意，得
△=（m-2）²-4×（m-1）×（-1）＞0，即m²＞0
解得，m＞0或m＜0        ①
又∵m-1≠0，
∴m≠1                ②
由①②，得
m＜0，0＜m＜1或m＞1．

證明：（2）由y=（m-1）x²+（m-2）x-1，得
y=[（m-1）x-1]（x+1）
拋物線y=[（m-1）x-1]（x+1）與x軸的交點就是方程[（m-1）x-1]（x+1）=0的兩根．
解方程，得，
由（1）得，x=-1，即一元二次方程的一個根是-1，
∴無論m取何值，拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1總過x軸上的一個固定點（-1，0）．

（3）∵x=-1是整數，
∴只需是整數．
∵m是整數，且m≠1，m≠0，
∴m=2，
當m=2時，拋物線的解析式為y=x²-1，
把它的圖象向右平移3個單位長度，
則平移后的解析式為y=（x-3）²-1．
點評：（1）在解一元二次方程的根時，利用根的判別式△=b²-4ac與0的關系來判斷該方程的根的情況；
（2）用十字相乘法對多項式進行分解，可以降低題的難度；
（3）函數圖象平移規律是向右或向左平移時X=|x+d|；向上或向下平移時Y=|y+d|．