Question

如圖，已知⊙O₁，經過⊙O₂的圓心O₂，且與⊙O₂相交于A，B兩點，點C為弧AO₂B上的一動點（不運動至A，B），連接AC，并延長交⊙O₂于點P，連接BP，BC．
（1）先按題意將圖1補完整，然后操作，觀察．圖1供操作觀察用，操作時可使用量角器與刻度尺．當點C在弧AO₂B上運動時，圖中有哪些角的大小沒有變化；
（2）請猜想△BCP的形狀，并證明你的猜想（圖2供證明用）；
（3）如圖3，當PA經過點O₂時，AB=4，BP交⊙O₁于D，且PB，DB的長是方程x²+kx+10=0的兩個根，求⊙O₁的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）用圓周角定理判斷，同弧所對的圓周角相等；
（2）用圓周角、圓心角定理及三角形外角的性質判斷；
（3）連接AD，作O₂E⊥BP于E，運用兩根關系，割線定理得出2PO₂²=PB²-10，由垂徑定理，勾股定理得出4PO₂²=PB²+16，可求PB；又PB•BD=10，可求BD；在△ABD中，由勾股定理可求AD，半徑可得．
解答：解：（1）∠ACB，∠BCP，∠P，∠CBP的大小沒有變化；
∵在⊙O₁中，∠ACB是AB弧所對的圓周角，當點C運動時，大小不變；
∴在⊙O₂中，∠P是AB弧所對的圓周角，當點C運動時，∠P大小不變；

（2）△BCP是等腰三角形；
理由：連接AO₂，
∴∠ACB=∠AO₂B，
∵在⊙O₂中，∠AO₂B=2∠P，即∠ACB=2∠P；
又∵∠ACB=∠P+∠PBC，
∴∠P=∠PBC，
∴△BCP是等腰三角形；

（3）連接AD；
∵AP為⊙O₂的直徑，
∴∠ABP=90°，
∴AD為⊙O₁的直徑；
作O₂E⊥BP于E，
∴O₂E為△ABP的中位線，O₂E=AB=2，
∴由割線定理得：PO₂•PA=PD•PB，2PO₂²=（PB-BD）•PB；
∵PB•BD=10，
∴2PO₂²=PB²-10，
在△O₂EP中，由勾股定理得PO₂²=（PB）²+O₂E²即：4PO₂²=PB²+16，
∴PB=6又PB•BD=10，
∴BD=；
在△ABD中，由勾股定理得：AD==，
∴⊙O₁半徑是AO₁=．
點評：本題考查了圓周角定理，垂徑定理，割線定理，勾股定理及兩根關系的運用，具有較強綜合性．