Question

某街道兩旁正在安裝漂亮的路燈，經查看路燈圖紙，小紅發現該路燈的設計可以看作是“相切兩圓”的一部分，部分數據如圖所示：⊙O₁、⊙O₂相切于點C，CD切⊙O₁于點C，A、B為路燈燈泡．已知∠AO₁O₂=∠BO₂O₁=60°．A、B、C三點距地面MN的距離分別為cm，cm，cm，請根據以上圖文信息，求：
（1）⊙O₁、⊙O₂的半徑分別多少cm？
（2）把A、B兩個燈泡看作兩個點，求線段AB的長．

Answer 1

解：（1）過點A作AP⊥MN交O₁O₂于點P，
∵A、B、C三點距地面MN的距離分別為cm，cm，cm，
∴AP=150-100=50（cm），
∴在Rt△O₁AP中，O₁A===100（cm），
同理：O₁B==160（cm），
∴⊙O1、⊙O2的半徑分別為100cm和160cm．

（2）如圖，過點A作AP⊥MN交O₁O₂于點P，過點B作BQ⊥MN交O₁O₂于點Q，過點A作AH⊥BQ于點H，
則四邊形APQH是矩形，
∵O₁P=O₁A，O₂Q=O₂B，
∴AH=PQ=（100+160）=130（cm），BH=180-150=30（cm），
∴AB===140（cm）．
即線段AB的長為140cm．
分析：（1）首先過點A作AP⊥MN交O₁O₂于點P，由A、B、C三點距地面MN的距離分別為cm，cm，cm，可求得AP的長，然后由三角函數的性質，求得O₁A的長，同理可求得⊙O₂的半徑；
（2）首先過點A作AP⊥MN交O₁O₂于點P，過點B作BQ⊥MN交O₁O₂于點Q，過點A作AH⊥BQ于點H，可求得AH與BH的長，然后由勾股定理求得線段AB的長．
點評：此題考查了相切兩圓的性質、勾股定理以及三角函數的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．