Question

已知△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為直線BC上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時(shí)針排列），使∠DAF=60°，連接CF．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC上時(shí)，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在邊BC的延長線上且其他條件不變時(shí)，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在邊CB的延長線上且其他條件不變時(shí)，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析   （2）AC=CF﹣CD，理由見解析   （3）AC=CD﹣CF

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可。

（2）求出∠BAD=∠CAF，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可。

（3）畫出圖形后，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可：

∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠DAB=∠CAF，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。

∴CF=BD。∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC。

∴AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系為AC=CD﹣CF。

解：（1）證明：∵菱形AFED，∴AF=AD。

∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF。

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。

∴CF=BD。∴CF+CD=BD+CD=BC=AC。

即①BD=CF，②AC=CF+CD。

（2）AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是AC=CF﹣CD。理由如下：

由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，

∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF。

∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，

∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴BD=CF。

∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD。

（3）補(bǔ)全圖形如下：

AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系為AC=CD﹣CF。