Question

【題目】如圖，在四邊形中，，，.分別以點，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，作射線交于點，交于點.若點是的中點，的周長為8，則的長為（ ）

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據平行線的性質可得∠FAC=∠BCA，∠DAB+∠ABC=180°，可得∠DAB=∠ADC，利用ASA可證明△AOF≌△COB，可得AF=BC=3，即可證明四邊形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，根據作圖可知點E在線段AC的垂直平分線上，由點O為AC中點可得BE是AC的垂直平分線，可得AF=FC，AB=BC，即可求出FC=CD=BC=3，根據△CDF的周長求出DF的長即可.

∵AD//BC，

∴∠FAC=∠ACB，∠DAB+∠ABC=180°，

∵，

∴∠DAB=∠ADC，

∴四邊形ABCD是等腰梯形，

∴AB=CD，

∵點O為AC中點，

∴OA=OC，

在△AOF和△COB中，，

∴△AOF≌△COB，

∴AF=BC=3，

∵以點，為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點，

∴點E在線段AC的垂直平分線上，

∵點O是AC中點，交于點，

∴BE是AC的垂直平分線，

∴AF=FC，AB=BC，

∴FC=CD=BC=3，

∵△CDF的周長是8，

∴DF=8-CF-CD=2，

故選A.