Question

【題目】如圖，在等腰直角△ABC中，AB=AC，點D是斜邊BC的中點，點E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF.

（1）證明：BE+CF=EF2；

（2）若BE=12，CF=5，求△DEF的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接AD，首先利用等腰直角三角形的性質得到AD⊥BC，AD=CD=BD，∠C=∠DAE，得出∠CDF=∠ADE，然后利用ASA證得DCF≌△ADE，得出CF=AE，DF=DE，得出BE=AF，再根據勾股定理即可得出結論；

（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF為等腰直角三角形，在Rt△AEF中，運用勾股定理求出EF，進而求出DE、DF的值，代入S△EDF=DE2進行求解即可．

(1)證明：連接AD,如圖所示：

∵AB=AC,D為BC的中點,∠BAC=90°，

∴AD⊥BC,AD=CD=BD,∠C=∠B=45°,∠DAE=45°，

∵DE⊥DF，

∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，

即∠CDF=∠ADE，

在△DCF和△ADE中,，

∴△DCF≌△ADE(ASA)，

∴CF=AE，DF=DE，

∴BE=AF，

∵AF2+AE2=EF2，

∴BE2+CF2=EF2；

(2)由(1)知：AE=CF=5，同理AF=BE=12，

∵∠EAF=90°，

∴EF2=AE2+AF2=52+122=169，

∴EF=13，

又∵由(1)知：△AED≌△CFD，

∴DE=DF，

∴△DEF為等腰直角三角形，

∴DE=DF=EF，

∴△DEF的面積=DE2= .