Question

在矩形ABCD中，已知AB=a，BC=b，P是邊CD上異于點C、D的任意一點．
（1）若a=2b，當點P在什么位置時，△APB與△BCP相似？（不必證明）
（2）若a≠2b，①判斷以AB為直徑的圓與直線CD的位置關系，并說明理由；②是否存在點P，使以A、B、P為頂點的三角形與以A、D、P為頂點的三角形相似？（不必證明）

Answer 1

分析：（1）根據已知及相似三角形的判定方法可求得，P只能是CD的中點．
（2）a≠2b，則有a＞2b，a＜2b，分情況討論．根據圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關系可以判斷以AB為直徑的圓與直線CD的位置關系．要使△ABP與△ADP相似，因為在△ADP中，∠D=90°，則△ABP必定是直角三角形，根據直徑所對的圓周角是直角，得出答案．

解答：解：（1）因為P在邊CD上，則在△BCP中，必有∠C=90°，因為兩三角形相似時，形狀一定相同，故△APB必定是直角三角形，又P點異于C，D，所以∠ABP≠90°，∠BAP≠90°，只能∠APB=90°，此時P只能是CD的中點．（2分）

（2）當a＞2b時：
①以AB為直徑的圓與直線CD相交（3分）
理由是：∵a＞2b
∴b＜

1

2

a
∴AB的中點（圓心）到CD的距離b小于半徑

1

2

a
∴CD與圓相交．（4分）

②當點P為CD與圓的交點時，△ABP∽△PAD，即存在點P（兩個），使以A、B、P為頂點的三角形與以A、D、P為頂點的三角形相似．（5分）
當a＜2b時：
1AB為直徑的圓與直線CD相離．（6分）
理由是：∵a＜2b
∴b＞

1

2

a
∴AB的中點（圓心）到CD的距離b大于半徑

1

2

a
∴CD與圓相離（7分）
②由①可知，點P始終在圓外，△ABP始終為銳角三角形
∴不存在點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與以A、D、P為頂點的三角形相似．（9分）

點評：本題屬于開放型試題，重點考查相似三角形的判定，有助于訓練學生的發散思維能力．