Question

【題目】如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B落在邊AD上的點B′處，點A落在點A′處；

（1）求證：B′E=BF；

（2）設AE=a，AB=b，BF=C，試猜想a，b，c之間的一種關系，并給予證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）a，b，c三者存在的關系是a+b>c,理由見解析.

【解析】（1）首先根據題意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，接著根據平行線的性質和等腰三角形的判定即可證明B′E=BF；
（2）解答此類題目時要仔細讀題，根據三角形三邊關系求解分類討論解答，要提高全等三角形的判定結合勾股定理解答．

證明：（1）由題意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，
在矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠B′EF=∠BFE，
∴∠B′FE=∠B'EF，
∴B′F=BE，
∴B′E=BF；
解：（2）答：a，b，c三者關系不唯一，有兩種可能情況：
（ⅰ）a，b，c三者存在的關系是a2+b2=c2．
證明：連接BE，則BE=B′E，
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c．
在△ABE中，∠A=90°，
∴AE2+AB2=BE2，
∵AE=a，AB=b，
∴a2+b2=c2；
（ⅱ）a，b，c三者存在的關系是a+b＞c．
證明：連接BE，則BE=B′E．
由（1）知B′E=BF=c，
∴BE=c，
在△ABE中，AE+AB＞BE，
∴a+b＞c．

“點睛”此題以證明和探究結論形式來考查矩形的翻折、等角對等邊、三角形全等、勾股定理等知識．第一，較好考查學生表述數學推理和論證能力，第（1）問重點考查了學生邏輯推理的能力，主要利用等角對等邊、翻折等知識來證明；第二，試題呈現顯示了濃郁的探索過程，試題設計的起點低，圖形也很直觀，也可通過自已動手操作，尋找幾何元素之間的對應關系，形成較為常規的方法解決問題，第（2）問既考查了學生對勾股定理掌握的程度又考查學生的數學猜想和探索能力，這對于培養學生創新意識和創新精神十分有益；第三，解題策略多樣化在本題中得到了充分的體現．