Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于點（﹣1，0）、（3，0），與軸相交于點，點為線段上的動點（不與、重合），過點垂直于軸的直線與拋物線及線段分別交于點、，點在軸正半軸上，=2，連接、．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當四邊形是平行四邊形時，求點的坐標；

（3）過點的直線將（2）中的平行四邊形分成面積相等的兩部分，求這條直線的解析式．（不必說明平分平行四邊形面積的理由）

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：；(2)點坐標為或；(3) ①當時，所求直線的解析式為：；②當時，所求直線的解析式為：.

【解析】

（1）將點和點的坐標代入拋物線函數中，可求出未知量，.則可求出該拋物線解析式；

（2）由平行四邊形的性質可知，，用含未知量的代數式表示的長度．則可得點坐標 ；

（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點與對稱中心的直線平分的面積．求得此直線，首先要求得對稱中心的坐標.則兩點坐標可確定該直線.

解：（1）點、在拋物線上，

∴，

解得，，

拋物線的解析式為：．

（2）在拋物線解析式中，令x=0，得y=3，
∴C（0，3）．

設直線BC的解析式為y=kx+b，，將，C坐標代入得：

，

解得k=-1，b=3，

∴．

設E點坐標為（x，-x2+2x+3），則P（x，0），F（x，-x+3），
∴EF=yE-yF=-x2+2x+3-（-x+3）=-x2+3x．
∵四邊形ODEF是平行四邊形，
∴EF=OD=2，
∴-x2+3x=2，即x2-3x+2=0，
解得x=1或x=2，
∴P點坐標為（1，0）或（2，0）．

（3）平行四邊形是中心對稱圖形，其對稱中心為兩條對角線的交點（或對角線的中點），過對稱中心的直線平分平行四邊形的面積，因此過點A與ODEF對稱中心的直線平分ODEF的面積．

①當P（1，0）時，
點F坐標為（1，2），又D（0，2），
設對角線DF的中點為G，則，

設直線AG的解析式為y=kx+b，將A（-1，0），坐標代入得：

解得

∴所求直線的解析式為：

②當P（2，0）時，
點F坐標為（2，1），又D（0，2），
設對角線DF的中點為G，則

設直線AG的解析式為y=kx+b，將A（-1，0），坐標代入得：

解得

∴所求直線的解析式為：

綜上所述，所求直線的解析式為：或．