Question

如圖，以⊙O上一點O₁為圓心作圓和⊙O相交于A，B兩點，過A作直線CD交⊙O于C，交⊙O₁于D．CB交⊙O₁于E，AB與CO交于F．
求證：（1）AC•BC=CF²+AF•BF；
　　 （2）∠CDB=∠CBD．

Answer 1

證明：（1）連接O₁A，O₁B，則O₁A=O₁B，
∴=，
∴∠ACF=∠BCF，
∵∠CAB=∠CO₁B，
∴△AFC∽△O₁BC，
∴=，
∴AC•BC=O₁C•CF=（O₁F+CF）•CF=CF₂+O₁F•CF，
∵AF•BF=O₁F•CF，
∴AC•BC=CF₂+AF•BF；

（2）連接O₁D，則O₁D=O₁B=O₁A，
∴∠O₁DB=∠O₁BD，∠O₁DA=∠O₁AD，
∵∠O₁AD=∠CBO₁，
∴∠O₁DA=∠CBO₁，
∴∠O₁DA+∠O₁DB=∠O₁BD+∠CBO₁，即∠CDB=∠CBD．
分析：（1）連接O₁A，O₁B，由圓的半徑相等得到O₁A=O₁B，再利用等弦所對的劣弧相等得到兩條弧相等，利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再利用同弧所對的圓周角相等得到另一對角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形AFC與三角形O₁BC相似，由相似得比例，等量代換即可得證；
（2）連接O₁D，則O₁D=O₁B=O₁A，利用等邊對等角得到兩對角相等，再由圓內接四邊形的外角等于它的內對角得到一對角相等，等量代換即可得證．
點評：此題考查了相交兩圓的性質，相似三角形的判定與性質，圓內接四邊形的性質，以及圓周角定理，熟練掌握相交兩圓的性質是解本題的關鍵．