Question

如圖，△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6，AD是∠BAC的角平分線，以AB上一點O為圓心，AD為弦作⊙O．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連接OD，由角的等量關系證明OD∥AC，證明∠C=∠ODB=90°；
（2）在Rt△ABC中，解得AB，由三角形相似列出關系式解得半徑．

解答：（1）證明：連接OD，∵AB=10，BC=8，AC=6，∴BC²+AC²=AB²，
∴∠C=90°，（1分）
∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠1=∠2．
∵OA=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3．
∴AC∥OD．（2分）
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切線．（3分）

（2）解：由（1）可知，AC∥OD，
∴△OBD∽△ABC，
∴

OD

AC

=

BD

BC

，
即

OD

BD

=

6

8

=

3

4

．（4分），
設OD=3x，則BD=4x，∴OA=OD=3x，OB=10-3x，
在Rt△ODB中，OB=

OD2+BD2

=5x，
∴10-3x=5x，
解得x=

5

4

，
∴OD=

15

4

，（5分）
即⊙O的半徑為

15

4

．

點評：本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．