Question

（2008•泰安）如圖所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點E，點D是BC邊的中點，連接DE．
（1）求證：DE與⊙O相切；
（2）若⊙O的半徑為，DE=3，求AE．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的判定定理只需證明OE⊥DE即可；
（2）根據（1）中的證明過程，會發現BC=2DE，根據勾股定理求得AC的長，進一步求得直角三角形斜邊上的高BE，最后根據勾股定理求得AE的長．
解答：解：（1）證明：連接OE，BE，
∵AB是直徑．
∴BE⊥AC．
∵D是BC的中點，
∴DE=DB．
∴∠DBE=∠DEB．
又OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB．
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB．
即∠ABD=∠OED．
但∠ABC=90°，
∴∠OED=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）法1：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=2DE=6，
∴AC=4．
∴BE=3．
∴AE=；
法2：∵（8分）
∴（10分）
∴．（12分）
點評：此題主要考查切線的判定及勾股定理等知識點的綜合運用．