Question

（1997•廣州）如圖，點B的坐標為（0，-2），點A在x軸正半軸上，將Rt△AOB繞y軸旋轉一周，得到一個圓錐．
（1）當圓錐的側面積為

5

π時，求AB所在直線的函數解析式；
（2）若已知OA的長度為a，按這個圓錐的形狀造一個容器，并在母線AB上刻出把這個容器的容積兩等分的刻度點C，試用含a的代數式去表示BC的長度t（圓錐體積公式：V=

1

3

πr²h，其中r和h分別是圓錐的底面半徑和高）．

Answer 1

分析：（1）設點A的坐標為（x，0），求出AB，根據側面積得出方程

1

2

•2xπ•

x2+4

=

5

π，求出x，得出A的坐標，設直線AB的函數解析式為y=kx+b，把A、B的坐標代入求出即可；
（2）作CE⊥BO，垂足為E，根據面積得出EC²×BE=OA²=a²，①根據相似得出

EC

BE

=

a

2

，②由①、②求出EC=

a

3 2

，根據△EBC∽△OBA，推出

t

AB

=

EC

a

，即可求出答案．

解答：（1）解：設點A的坐標為（x，0），
則AB=

OA2+OB2

=

x2+4

，
根據題意，得

1

2

•2xπ•

x2+4

=

5

π，
解得：x=1，（x=-1不合題意，舍去），
設直線AB的函數解析式為y=kx+b，
把A（1，0），B（0，-2）分別代入上式得：

k+b=0 b=-2

，
解得：k=2，b=-2，
∴直線AB的函數解析式為y=2x-2；

（2）解：作CE⊥BO，垂足為E，
根據題意：

1

2

×

1

3

π×OA²×OB=

1

3

π×EC²×EB，
化簡得：EC²×BE=OA²，
即EC²×EB=a²，①
∵△EBC∽△OBA，
∴

EC

BE

=

a

2

，②
由①、②，得
EC=

a

3 2

，
∵△EBC∽△OBA，
∴

t

AB

=

EC

a

，
∴t=

EC×AB

a

=

EC• a2+4

a

=

a 3 2 • a2+4

a

=

a2+4

3 2

即t=

3 4

2

a2+4

．

點評：本題考查了勾股定理，圓錐的側面積，相似三角形的性質和判定等知識點的應用，主要培養學生運用知識點進行計算和推理的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．