Question

如圖，下列四個關系：①AD∥BC，②AB=CD，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，選出其中的兩個關系作為命題的題設，命題的結論：四邊形ABCD是平行四邊形，請寫一個真命題和一個假命題．
你寫的真命題是：已知：在四邊形ABCD中，________，________；
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：________．
你寫的假命題是：
題設：________；
結論：四邊形ABCD是平行四邊形，你認為它是假命題的理由是：________．

Answer 1

①    ④    ∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形    在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD    ∵AD∥BC，AB=CD在四邊形ABCD中，是一組對邊平行，另一組對邊相等，
∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形
分析：根據平行四邊形的判定方法就可以組合出不同的結論，然后即可證明．
其中解法一是證明兩組對角相等的四邊形是平行四邊形；
解法二是證明兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形；
解法三是證明一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
解法四是證明兩組對角相等的四邊形是平行四邊形．
解答：真命題如下：
已知：①③，①④，②④，③④均可，其余均不可以．
解法一：
已知：在四邊形ABCD中，①AD∥BC，③∠A=∠C，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°．
∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
解法二：
已知：在四邊形ABCD中，①AD∥BC，④∠B+∠C=180°，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
解法三：
已知：在四邊形ABCD中，②AB=CD，④∠B+∠C=180°，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
解法四：
已知：在四邊形ABCD中，③∠A=∠C，④∠B+∠C=180°，
求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
證明：∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
又∵∠A=∠C，
∴∠B=∠D，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
假命題如下：在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．
∵AD∥BC，AB=CD在四邊形ABCD中，是一組對邊平行，另一組對邊相等，
∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形．
故答案可以是：①，④；∵∠B+∠C=180°，
∴AB∥CD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
∵AD∥BC，AB=CD在四邊形ABCD中，是一組對邊平行，另一組對邊相等，
∴不能判定四邊形ABCD是平行四邊形．
點評：本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．平行四邊形共有五種判定方法，記憶時要注意技巧；這五種方法中，一種與對角線有關，一種與對角有關，其他三種與邊有關．