Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點D是正方形OABC的邊AB上的動點，OC＝6．以AD為一邊在AB的右側作正方形ADEF，連結BF交DE于P點．

（1）請直接寫出點A、B的坐標；

（2）在點D的運動過程中，OD與BF是否存在特殊的位置關系？若存在，試寫出OD與BF的位置關系，并證明；若不存在，請說明理由．

（3）當P點為線段DE的三等分點時，試求出AF的長度．

Answer 1

【答案】（1）A（6，0），B（6，6）；（2）OD⊥BF，理由見解析；（3）當P點為線段DE的三等分點時，AF的長度為2或4．

【解析】

（1）利用正方形的性質得出OA=AB=6，即可得出結論；

（2）利用SAS判斷出△AOD≌△BAF，進而得出∠AOD=∠BAF，即可得出結論；

（3）先表示出BD，DP，再判斷出△BDP∽△BAF，得出，代入解方程即可得出結論。

（1）∵四邊形OABC是正方形，

∴BC⊥OC，AB⊥OA，OB＝AB＝BC＝OC，

∵OC＝6，

∴BC＝AB＝6，

∴A（6，0），B（6，6）；

（2）OD⊥BF，理由：如圖，延長OD交BF于G，

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD＝AF，∠BAF＝∠OAD，

在△AOD和△BAF中， ，

∴△AOD≌△BAF（SAS），

∴∠AOD＝∠BAF，

∴∠BAF+∠AFB＝90°，

∴∠AOD+AFB＝90°，

∴∠OGF＝90°，

∴OD⊥BF；

（3）設正方形ADEF的邊長為x，

∴AF＝AD＝DE＝x，

∴BD＝AB﹣AD＝6﹣x，

∵點P是DE的三等分點，

∴DP＝AF＝x或DP＝AF＝x

∵DE∥AF，

∴△BDP∽△BAF，

∴，

∴或 ，

∴x＝4或x＝2，

當P點為線段DE的三等分點時，AF的長度為2或4．