Question

如圖，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交

于點C，且當(dāng)=0和=4時，y的值相等。直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點，其中一點的橫坐標(biāo)是3，另一點是這條拋物線的頂點M。

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）P為線段OM上一點，過點P作PQ⊥軸于點Q。若點P在線段OM上運動（點P不與點O重合，但可以與點M重合），設(shè)OQ的長為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

（3）隨著點P的運動，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請求出S的最大值并指出點Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請簡要說明理由；

（4）隨著點P的運動，是否存在t的某個值，能滿足PO=OC？如果存在，請求出t的值。

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)和時，的值相等，∴，

∴，∴

將代入，得，

將代入，得

∴設(shè)拋物線的解析式為

將點代入，得，解得．

∴拋物線，即

（2）設(shè)直線OM的解析式為，將點M代入，得，

∴

則點P,,而,．

=

的取值范圍為：＜≤

（3）隨著點的運動，四邊形的面積有最大值．

   從圖像可看出，隨著點由→運動，的面積與的面積在不斷增大,即不斷變大，當(dāng)然點運動到點時，最值

   此時時，點在線段的中點上

  因而．

  當(dāng)時，,∥,∴四邊形是平行四邊形．

（4）隨著點的運動，存在，能滿足

   設(shè)點，，． 由勾股定理，得．

   ∵,∴，＜，（不合題意）

   ∴當(dāng)時，