Question

【題目】已知：如圖，在菱形中，點，，分別為，，的中點，連接，，，．

求證：；

當與滿足什么關系時，四邊形是正方形？請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）由菱形的性質得出∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，由已知和三角形中位線定理證出AE＝BE＝DF＝AF，OF＝DC，OE＝BC，OE∥BC，由(SAS)證明△BCE≌△DCF即可；
（2）由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，證出四邊形AEOF是菱形，再證出∠AEO＝90°，四邊形AEOF是正方形．

(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，

∵點E，O，F分別為AB，AC，AD的中點，

∴AE＝BE＝DF＝AF,OF＝DC,OE＝BC,OE∥BC，

在△BCE和△DCF中,，

∴△BCE≌△DCF(SAS)；

(2)當AB⊥BC時，四邊形AEOF是正方形，理由如下：

由(1)得：AE＝OE＝OF＝AF，

∴四邊形AEOF是菱形，

∵AB⊥BC,OE∥BC，

∴OE⊥AB，

∴∠AEO＝90°，

∴四邊形AEOF是正方形.