Question

如圖1，OA、OB是⊙O的兩條半徑，且OA⊥OB，點C是OB延長線上任意一點，過點C作切線CD切⊙O于點D，連接AD交OC于點E．
（1）猜想：△DCE是怎樣的三角形，并說明理由．
（2）若將圖1中的半徑OB所在直線向上平行移動交⊙O于B′，其他條件不變（如圖2），那么上述結論是否成立？說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據切線的性質，以及直角三角形的性質，直角三角形的兩銳角互余，即可證明∠ADC=∠AEO，從而得到∠DEC=∠ADC，繼而可證明△DCE是等腰三角形．
（2）上述結論仍然成立，連接OD，證明方法和（1）完全相同．

解答：解：（1）△CDE是等腰三角形．理由如下：
連接OD，則OD⊥CD，∠CDE+∠ODA=90°；
在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°，
在⊙O中，∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，∠CDE=∠AEO，
又∵∠AEO=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE，
即△CDE是等腰三角形；

（2）結論仍然成立．理由如下：
∵將原來的半徑OB所在直線向上平行移動，
∴CF⊥AO于F，
在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°，
連接OD，則∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD，
故可得∠A=∠ODA，∠AEF=∠CDE，
又∵∠AEF=∠CED，
∴∠CED=∠CDE，
∴CD=CE．
故△CDE是等腰三角形．

點評：此題考查了切線的性質、等腰三角形的判定，縱觀這兩問，解題最關鍵的是利用等量代換得出∠CED=∠CDE，難度一般．