Question

設a，b為整數，并且一元二次方程x²+（2a+b+3）x+（a²+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax²+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β；那么，以α，β為根的整系數一元二次方程是________．

Answer 1

2x²+7x+6=0
分析：根據△的意義得到（2a+b+3）²-4（a²+ab+6）=0，即（b+3）²=12（2-a）①；（4a-2b-2）²-8a（2a-2b-1）=0，即（b+1）²=2a②，①+②×6可消去a得關于b的方程7b²+18b-9=0，求出b的整數解為-3，易得到a=2，于是兩個方程變形為x²+4x+4=0和4x²+12x+9=0，易得α=-2，β=-，根據根與系數的關系得到以α，β為根一元二次方程是x²-（-2-）x+（-2）×（-）=0，然后化為整系數即可．
解答：∵a，b為整數，并且一元二次方程x²+（2a+b+3）x+（a²+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax²+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β，
∴（2a+b+3）²-4（a²+ab+6）=0，即（b+3）²=12（2-a），①
（4a-2b-2）²-8a（2a-2b-1）=0，即（b+1）²=2a，②
①+②×6得，7b²+18b-9=0，（7b-3）（b+3）=0，
解得b₁=，b₂=-3，
∵b為整數，
∴b=-3，
把b=-3代入②得，a=2，
所以兩個方程分別是：x²+4x+4=0和4x²+12x+9=0，即（x+2）²=0，（2x+3）²=0，
∴α=-2，β=-，
∴以α，β為根一元二次方程是x²-（-2-）x+（-2）×（-）=0，
系數化為整數為2x²+7x+6=0．
故答案為2x²+7x+6=0．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=；以x₁，x₂為根的一元二次方程是x²-（x₁+x₂）x+x₁•x₂=0．也考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式以及一元二次方程的解．