Question

設a，b為整數，并且一元二次方程x²+（2a+b+3）x+（a²+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax²+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β；那么，以α，β為根的整系數一元二次方程是（　　）

A．2x²+7x+6=0

B．2x²+x-6=0

C．x²+4x+4=0

D．x²+（a+b）x+ab=0

Answer 1

分析：根據一元二次方程的根與系數的關系知兩個方程的判別式皆為0，據此列出關于a、b的方程組，通過解方程組求得a、b的值；然后求得α、β值；然后根據它們的值求得所求的一元二次方程的解析式．

解答：解：∵a，b為整數，并且一元二次方程x²+（2a+b+3）x+（a²+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax²+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β，
∴（2a+b+3）²-4（a²+ab+6）=0，即（b+3）²=12（2-a），①
（4a-2b-2）²-8a（2a-2b-1）=0，即（b+1）²=2a，②
由①②得，7b²+18b-9=0，其整根為b=-3，
∴a=2；
∴兩個方程分別是：x²+4x+4=0和4x²+12x+9=0，
∴α=-2，β=-

3

2

，
∴以α，β為根的整系數一元二次方程是2x²+7x+6=0．
故選A．

點評：此題主要考查了根與系數的關系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了不等式組的解．