Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，點E在下底邊BC上，點F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設BE長為x，試用含x的代數式表示BF及△BEF
的面積（提示：作AK⊥BC于K，作FG⊥BC于G）；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根據△FBG∽△ABK對應邊成比例即可求解；
（2）根據四邊形的面積即可求出x的值．

解答：解：（1）梯形的周長為4+2×5+10=24，
由題意：BF+EB=12，即BF+x=12，
∴BF=12-x，作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，
則BK=3，AK=4，
又∵△FBG∽△ABK，
∴

FG

AK

=

FB

AB

，即

GF

4

=

12-x

5

，
∴FG=

4

5

（12-x），
∴△BEF的面積=

1

2

BE•FG=

2

5

（-x²+12x）；

（2）又∵S_{四邊形ABCD}=

1

2

（10+4）×4=28，則

2

5

（-x²+12x）=14，
解得：x=5或x=7，
∵BF=12-x≤5，
∴x≥7，
∴x=7，
即存在線段EF將等腰梯形的周長和面積同時平分．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，難度適中，關鍵是巧妙地作出輔助線．