Question

如圖，A、B、C、D四點在同一圓周上，且BC=CD=4，AE=6，線段BE和DE的長都是正整數，則BD的長等于    ．

Answer 1

【答案】分析：根據已知條件，易證△ABC∽△BEC，所以BC²=CE•AC，即可求得EC=2，利用相交弦定理，可以確定BE•DE=12，又線段BE、ED為正整數，且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，所以BD=7．
解答：解：∵BC=CD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵∠DBC=∠DAC，
∴∠BAC=∠DBC，
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△ABC∽△BEC，
∴BC²=CE•AC，
∵BC=CD=4，AE=6，
∴EC=2，
由相交弦定理得，BE•DE=AE•EC，
即BE•DE=12，
又線段BE、ED為正整數，
且在△BCD中，BC+CD＞BE+DE，
所以可得BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，
所以BD=BE+DE=7．
故答案為：7．
點評：本題結合三角形的面積考查了相交弦定理，即“圓內兩弦相交于圓內一點，各弦被這點所分得的兩線段的長的乘積相等”．熟記并靈活應用定理是解題的關鍵．