Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A逆時針旋轉α度(30＜α＜150)得到△AB′C′，B、C兩點的對應點分別為點B′、C′，連接BC′，BC與AC、AB′相交于點E、F．

(1)當α＝70時，∠ABC′＝_____°，∠ACB′＝______°．

(2)求證：BC′∥CB′．

Answer 1

【答案】(1)40，70；(2)證明見解析.

【解析】

（1）由旋轉的性質可得AB＝AC＝AB'＝AC'，∠CAC'＝70°，∠B'AC'＝∠BAC＝30°，由等腰三角形的性質可求解；

（2）由旋轉的性質和等腰三角形的性質可得∠ABC'＝，∠ACB'＝，由三角形的外角性質可得∠AEF＝＝∠ACB'，即可得BC'∥CB'．

(1)∵將△ABC繞點A逆時針旋轉α度得到△AB′C′，且AB＝AC，∠BAC＝30°，

∴AB＝AC＝AB'＝AC'，∠CAC'＝70°，∠B'AC'＝∠BAC＝30°，

∴∠BAC'＝100°，且AB＝AC'，

∴∠ABC'＝40°，

∵∠CAB'＝∠CAC'﹣∠B'AC'＝40°，且AC＝AB'

∴∠ACB'＝70°

故答案為40，70

(2)∵將△ABC繞點A逆時針旋轉α度得到△AB′C′，且AB＝AC，∠BAC＝30°，

∴AB＝AC＝AB'＝AC'，∠CAC'＝α，∠B'AC'＝∠BAC＝30°，

∴∠BAC'＝30°+α，∠CAB'＝α﹣30°，且AB＝AC＝AB'＝AC'，

∴∠ABC'＝，∠ACB'＝

∵∠AEF＝∠ABE+∠BAC

∴∠AEF＝

∴∠AEF＝∠ACB'，

∴BC'∥B'C