Question

我們定義這樣的路徑為動點P的希望之旅：參照圖（1），點P從點A出發，先沿水平方向運動，到達圖形l₁上的點B₁處后，改為垂直向上運動，到達圖形l₂上的點A₁處…，照此規律運動，動點P依次經過點B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…．點P從點A到點A_n的總路徑的長叫做點P從點A到點A_n的希望之旅程d_n．
（1）如圖（1），若點A為（0，1），圖形l₁為直線，圖形l₂為直線y=x+1，求點P從A到點A₂的希望之旅程d₂，并直接寫出d₃=______，d₂₀₁₀=______；
（2）如圖（2），若點A為（0，1），圖形l₁為拋物線（x＞0），圖形l₂為拋物線y=x²（x＞0），求點P從A到點A₂的希望之旅程d₂，并直接寫出d_n=______．

Answer 1

解：（1）根據一次函數關系式可得AB₁=B₁A₁=1，A₁B₂=B₂A₂=2，可證△A₁B₂A₂∽△AB₁A₁，相似比為2，
d₂=2+2²=6，d₃=2+2²+2³=14，
d₂₀₁₀=2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰=2×2²⁰¹⁰-2=2²⁰¹¹-2；

（2）同理得d₂=5，d_n=．
分析：（1）由于相鄰兩點或是橫坐標相同，或是縱坐標相同，通過一次求出d₂、d₃得出一般是d_n．
（2）與（1）同理，通過求得d₂、d₃得出一般是d_n．
點評：本題從規律性考查了二次函數圖象上點的坐標特征，題目較為新穎．