Question

我們定義這樣的路徑為動點(diǎn)P的希望之旅：參照圖（1），點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，先沿水平方向運(yùn)動，到達(dá)圖形l₁上的點(diǎn)B₁處后，改為垂直向上運(yùn)動，到達(dá)圖形l₂上的點(diǎn)A₁處…，照此規(guī)律運(yùn)動，動點(diǎn)P依次經(jīng)過點(diǎn)B₁，A₁，B₂，A₂，B₃，A₃，…，B_n，A_n，…．點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)A_n的總路徑的長叫做點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)A_n的希望之旅程d_n．
（1）如圖（1），若點(diǎn)A為（0，1），圖形l₁為直線y=

1

2

x+

1

2

，圖形l₂為直線y=x+1，求點(diǎn)P從A到點(diǎn)A₂的希望之旅程d₂，并直接寫出d₃=

 

，d₂₀₁₀=

 

；
（2）如圖（2），若點(diǎn)A為（0，1），圖形l₁為拋物線y=

1

2

x2（x＞0），圖形l₂為拋物線y=x²（x＞0），求點(diǎn)P從A到點(diǎn)A₂的希望之旅程d₂，并直接寫出d_n=

 

．

Answer 1

分析：（1）由于相鄰兩點(diǎn)或是橫坐標(biāo)相同，或是縱坐標(biāo)相同，通過一次求出d₂、d₃得出一般是d_n．
（2）與（1）同理，通過求得d₂、d₃得出一般是d_n．

解答：解：（1）根據(jù)一次函數(shù)關(guān)系式可得AB₁=B₁A₁=1，A₁B₂=B₂A₂=2，可證△A₁B₂A₂∽△AB₁A₁，相似比為2，
d₂=2+2²=6，d₃=2+2²+2³=14，
d₂₀₁₀=2+2²+2³+…+2²⁰⁰⁹+2²⁰¹⁰=2×2²⁰¹⁰-2=2²⁰¹¹-2；

（2）同理得d₂=5，d_n=(

2

)n+2n-1．

點(diǎn)評：本題從規(guī)律性考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，題目較為新穎．