Question

（2007•日照）已知m，n是關于x的方程（k+1）x²-x+1=0的兩個實數根，且滿足k+1=（m+1）（n+1），則實數k的值是     ．

Answer 1

【答案】分析：先根據一元二次方程的根與系數的關系得到mn與m+n的值，代入k+1=（m+1）（n+1），求出k的值，再根據根的判別式判斷出k的取值范圍，最后結合前者確定k的最終取值．
解答：解：∵a=k+1，b=-1，c=1，m與n是方程的兩根，
∴m+n==，
，
∴k+1=（m+1）（n+1）=mn+m+n+1==，
即得到方程k=，
再化簡得k²+k-2=0，
解得k₁=1，k₂=-2，
又∵△=b²-4ac=（-1）²-4（k+1）×1=-4k-3≥0，
∴k≤，且k≠-1
∴k=-2．
點評：此題不僅考查了根的判別式的應用，還利用了根與系數的關系以及解分式方程，有一定的難度．