Question

在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+

8

3

x+c與x軸交于點（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若P是拋物線上一點，且△ABP的面積是

40

3

，求P點的坐標；
（3）若D是線段BC上的一個動點，過點D作DE⊥BC，交OC于E點．設CD的長為t，四邊形DEOB的周長為l，求l與t之間的函數(shù)關系式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=ax²+

8

3

x+c與x軸交于點（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，4），利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)△ABP的面積是

40

3

，得出|y|=

20

3

，再利用圖象開口方向得出y的值，進而求出即可；
（3）根據(jù)已知得出△DCE∽△OCB，得到

CD

CO

=

CE

CB

=

DE

BO

，再表示出EO，BO，DB，DE長度即可得出答案．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+

8

3

x+c與x軸交于點（-1，0）和點B，與y軸交于點C（0，4）．
∴

0=a- 8 3 +c c=4

，
解得：

a=- 4 3 c=4

，
∴y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；

（2）令y=0，可得x₁=-1，x₂=3，
∴B點坐標為：（3，0），
設P點坐標為（x，y），
依據(jù)題意得出：

1

2

×4×|y|=

40

3

，
∴|y|=

20

3

，
∵y=-

4

3

x²+

8

3

x+4；
=-

4

3

（x-1）²+

16

3

，
∴拋物線開口向下，頂點坐標為（1，

16

3

），
∴縱坐標最大值為：

16

3

，
∴y=-

20

3

，
∴-

20

3

=-

4

3

x²+

8

3

x+4；
解得：x₁=-2，x₂=4，
∴P點的坐標為：（4，-

20

3

），（-2，-

20

3

）；

（3）如圖所示：
在△ABC中，OB=3，CO=4，∠BOC=90°，
由勾股定理得BC=5，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC=∠BOC=90°，
∵∠DCE=∠OCB，
∴△DCE∽△OCB，
∴

CD

CO

=

CE

CB

=

DE

BO

，
∵CD=t，
∴

t

4

=

CE

5

=

DE

3

，
∴CE=

5

4

t，DE=

3

4

t，
∴四邊形DEOB的周長為l=EO+BO+DB+DE=4-

5

4

t+3+

3

4

t+5-t=12-

3

2

t，
t的取值范圍是：0＜t＜

16

5

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)已知得出△DCE∽△OCB，進而表示出EO，BO，DB，DE長是解題關鍵．