Question

如圖，在正方形紙片ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合．展開后，折痕DE分別交AB，AC于點E，G．連接GF．下列結論：①∠AGD=112.5°；②tan∠AED=2；③S_△AGD=S_△OGD；④四邊形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：本題運用的知識比較多，綜合性較強，需一一分析判斷．

解答：解：因為在正方形紙片ABCD中，折疊正方形紙片ABCD，使AD落在BD上，點A恰好與BD上的點F重合，
所以∠GAD=45°，∠ADG=

1

2

∠ADO=22.5°，
所以∠AGD=112.5°，所以①正確．
因為tan∠AED=

AD

AE

，因為AE=EF＜BE，
所以AE＜

1

2

AB，所以tan∠AED=

AD

AE

＞2，因此②錯．
因為AG=FG＞OG，△AGD與△OGD同高，
所以S_△AGD＞S_△OGD，所以③錯．
根據題意可得：AE=EF，AG=FG，又因為EF∥AC，
所以∠FEG=∠AGE，又因為∠AEG=∠FEG，
所以∠AEG=∠AGE，所以AE=AG=EF=FG，
所以四邊形AEFG是菱形，因此④正確．
由折疊的性質設BF=EF=AE=1，則AB=1+

2

，BD=2+

2

，DF=1+

2

，
由此可求

OG

EF

=

2

2

，
因為EF∥AC，
所以△DOG∽△DFE，
所以

OG

EF

=

DO

DF

=

2

2

，
∴

2

EF=2OG，
在直角三角形BEF中，∠EBF=45°，
所以△BEF是等腰直角三角形，同理可證△OFG是等腰直角三角形，
在等腰直角三角形BEF和等腰直角三角形OFG中，BE²=2EF²=2GF²=2×2OG²，
所以BE=2OG．因此⑤正確．

點評：本題難度較大，考查特殊四邊形的性質及三角形的相關知識．