Question

如圖，在正方形紙片ABCD中，E，F分別是AD，BC的中點，沿過點B的直線折疊，使點C落在EF上，落點為N，折痕交CD邊于點M，BM與EF交于點P，再展開．則下列結論中：①CM=DM；②∠ABN=30°；③AB²=3CM²；④△PMN是等邊三角形．正確的有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：根據題給條件，證不出①CM=DM；△BMN是由△BMC翻折得到的，故BN=BC，又點F為BC的中點，可知：sin∠BNF=

BF

BN

=

1

2

，求出∠BNF=30°，繼而可求出②∠ABN=30°；在Rt△BCM中，∠CBM=30°，繼而可知BC=

3

CM，可以證出③AB²=3CM²；求出∠NPM=∠NMP=60°，繼而可證出④△PMN是等邊三角形．

解答：解：∵△BMN是由△BMC翻折得到的，
∴BN=BC，又點F為BC的中點，
在Rt△BNF中，sin∠BNF=

BF

BN

=

1

2

，
∴∠BNF=30°，∠FBN=60°，
∴∠ABN=90°-∠FBN=30°，故②正確；
在Rt△BCM中，∠CBM=

1

2

∠FBN=30°，
∴tan∠CBM=tan30°=

CM

BC

=

3

3

，
∴BC=

3

CM，AB²=3CM²故③正確；
∠NPM=∠BPF=90°-∠MBC=60°，∠NMP=90°-∠MBN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，故④正確；
由題給條件，證不出CM=DM，故①錯誤．
故正確的有②③④，共3個．
故選C．

點評：本題考查翻折變換的知識，有一定難度，注意掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．