Question

圓Q交x軸于原點右側的A、B兩點，并切y軸于原點下方的C點，如圖所示．已知|AB|=3，|AC|=

5

．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）如果拋物線經過A、B、C三點，求這條拋物線的解析式．

Answer 1

分析：（1）可設出A的作為（x，0），根據AB的距離可表示出B的坐標，根據切割線定理可知：OC²=OA•OB，而在直角三角形AOC中，OC²=AC²-OA²，結合兩個表示OC²的式子即可求出A、B的坐標，進而可求出C的坐標．
（2）根據（1）得出的A、B、C三點坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式．

解答：解：（1）設A（x，0）、B（x+3，0）、C（0，y），
根據切割線定理，得y²=x（x+3）①，
又有：x²+y²=|AC|²=5②，
結合①②，消去y，
得2x²+3x-5=0．
解得：x=1或x=-

5

2

（舍）．
∴y=-2．
∴A、B、C三點的坐標分別是A（1，0）、B（4，0）、C（0，-2）．

（2）設過兩點的拋物線為y=a（x-1）（x-4），
∵它過點C（0，-2），
∴-2=a（0-1）（0-4），
∴a=

-2

4

=-

1

2

．
∴拋物線的方程為y=-

1

2

（x-1）（x-4）．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定，根據切割線定理和勾股定理求出各點的坐標是解題的關鍵．