Question

（2013•本溪）如圖，⊙O是△ACD的外接圓，AB是直徑，過點D作直線DE∥AB，過點B作直線BE∥AD，兩直線交于點E，如果∠ACD=45°，⊙O的半徑是4cm
（1）請判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）求圖中陰影部分的面積（結果用π表示）．

Answer 1

分析：（1）連結OD，根據圓周角定理得∠ABD=∠ACD=45°，∠ADB=90°，可判斷△ADB為等腰直角三角形，所以OD⊥AB，而DE∥AB，則有OD⊥DE，然后根據切線的判定定理得到DE為⊙O的切線；
（2）先由BE∥AD，DE∥AB得到四邊形ABED為平行四邊形，則DE=AB=8cm，然后根據梯形的面積公式和扇形的面積公式利用S_陰影部分=S_梯形BODE-S_扇形OBD
進行計算即可．

解答：解：（1）DE與⊙O相切．理由如下：
連結OD，BD，則∠ABD=∠ACD=45°，
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB為等腰直角三角形，
∵點O為AB的中點，
∴OD⊥AB，
∵DE∥AB，
∴OD⊥DE，
∵OD是半徑，
∴DE為⊙O的切線；

（2）∵BE∥AD，DE∥AB，
∴四邊形ABED為平行四邊形，
∴DE=AB=8cm，
∴S_陰影部分=S_梯形BODE-S_扇形OBD
=

1

2

（4+8）×4-

90•π•42

360

=（24-4π）cm²．

點評：本題考查了圓的切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了圓周角定理和扇形的面積公式．