Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，給出下列結論：

①CD=CP=CQ；

②∠PCQ的大小不變；

③△PCQ面積的最小值為；

④當點D在AB的中點時，△PDQ是等邊三角形，其中所有正確結論的序號是 ．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

試題①∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴CP=CD=CQ，∴①正確；

②∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，∴∠PCQ=360°﹣（∠ACP+BCQ+∠ACB）=360°﹣（120°+120°）=120°，∴∠PCQ的大小不變；∴②正確；

③如圖，過點Q作QE⊥PC交PC延長線于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，tan∠QCE=，∴QE=CQ×tan∠QCE=CQ×tan60°=CQ，∵CP=CD=CQ，∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=，∴CD最短時，S△PCQ最小，即：CD⊥AB時，CD最短，過點C作CF⊥AB，此時CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短為2，∴S△PCQ最小===，∴③錯誤；

④∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等邊三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等邊三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵當點D在AB的中點，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等邊三角形，∴④正確，故答案為：①②④．