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(1)如圖1,正方形ABCD中,E為邊CD上一點,連接AE,過點A作AF⊥AE交CB的延長線于F,猜想AE與AF的數量關系,并說明理由;
(2)如圖2,在(1)的條件下,連接AC,過點A作AM⊥AC交CB的延長線于M,觀察并猜想CE與MF的數量關系(不必說明理由);
(3)解決問題:
①王師傅有一塊如圖所示的板材余料,其中∠A=∠C=90°,AB=AD.王師傅想切一刀后把它拼成正方形.請你幫王師傅在圖3中畫出剪拼的示意圖;
②王師傅現有兩塊同樣大小的該余料,能否在每塊上各切一刀,然后拼成一個大的正方形呢?若能,請你畫出剪拼的示意圖;若不能,簡要說明理由.


【答案】分析:(1)根據兩角互余的關系先求出∠BAF=∠DAE,再由ASA定理可求出△ABF≌△ADE,由全等三角形的性質即可解答;
(2)先根據正方形的性質及AM⊥AC求出AM=AC,∠AMF=∠ACB=45°,再由△ABF≌△ADE及三角形內角和定理可求出∠MAF=∠CAE,再由SAS定理求出△AMF≌△ACE,即CE=MF;
(3)①畫出示意圖,只要求出△ABE≌△ADF,再根據此條件求出四邊形AECF是正方形即可;
②根據題意畫出示意圖即可,此時正方形的面積等于兩塊涂料面積的和.
解答:解:(1)∵∠BAF+∠BAE=90°,∠DAE+∠BAE=90°,
∴∠BAF=∠DAE,
∵AB=AD,∠ADE=∠ABF,
∴△ABF≌△ADE(ASA),
∴AE=AF.(5分)

(2)CE=MF.(7分)
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠AMF=∠ACB=45°,AM=AC,
∵△ABF≌△ADE,
∴∠ABF+∠FAB=∠ADE+∠DAE,即∠AFM=∠AEC,
∴∠MAF=∠EAC,
∴△AMF≌△ACE,
∴CE=MF.

(3)①如圖所示,把△ABE切下,拼到△ADF的位置,
∵AB=AD,∠BAE+∠DAE=∠DAF+∠DAE,
∴∠BAE=∠DAF,
∵∠AEB=∠AFD=90°,
∴∠ABE=∠ADF,
∴△ABE≌△ADF,
∵AE=AD=CE,∠AEC=∠ECF=∠AFC=90°,
∴四邊形AECF是正方形.

②如圖4所示,

點評:此題題量較大,涉及到正方形的性質及相似三角形的判定定理.解題的關鍵是利用全等三角形進行割補.
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5
2
B、
2
10
5
C、
2
5
5
D、
10
5

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