Question

如圖已知二次函數圖象的頂點坐標為，直線的圖象與該二次函數的圖象交于兩點，其中點坐標為，點在軸上，直線與軸的交點為．為線段上的一個動點（點與不重合），過作軸的垂線與這個二次函數的圖象交于點．
（1）求的值及這個二次函數的解析式；
（2）設線段的長為，點的橫坐標為，求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）為直線與這個二次函數圖象對稱軸的交點，在線段上是否存在點，使得以點為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線解析式為
在拋物線上，
        
二次函數解析式為：
（或）
令得：
即點在上

把代入得
（2）


（3）假設存在點，①當時，由題意可得，

則
，，舍去
而，存在點，其坐標為．
②當時，
過點作垂直于拋物線的對稱軸，垂足為；
由題意可得：
       
則       
，（舍去）
而，存在點，其坐標為．
綜上所述存在點滿足條件，其坐標為
，

解析