Question

（2006•南京）在平面直角坐標系中，直線l過點M（3，0），且平行于y軸．
（1）如果△ABC三個頂點的坐標分別是A（-2，0），B（-1，0），C（-1，2），△ABC關于y軸的對稱圖形是△A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁關于直線l的對稱圖形是△A₂B₂C₂，寫出△A₂B₂C₂的三個頂點的坐標；
（2）如果點P的坐標是（-a，0），其中a＞0，點P關于y軸的對稱點是P₁，點P₁關于直線l的對稱點是P₂，求PP₂的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據關于y軸對稱點的坐標特點是橫坐標互為相反數，縱坐標相同可以得到△A₁B₁C₁各點坐標，又關于直線l的對稱圖形點的坐標特點是縱坐標相同，橫坐標之和等于3的二倍，由此求出△A₂B₂C₁的三個頂點的坐標；
（2）P與P₁關于y軸對稱，利用關于y軸對稱點的特點：縱坐標不變，橫坐標變為相反數，求出P₁的坐標，再由直線l的方程為直線x=3，利用對稱的性質求出P₂的坐標，即可PP₂的長．
解答：解：（1）△A₂B₂C₂的三個頂點的坐標分別是A₂（4，0），B₂（5，0），C₂（5，2）；（3分）

（2）如圖1，當0＜a≤3時，∵P與P₁關于y軸對稱，P（-a，0），
∴P₁（a，0），
又∵P₁與P₂關于l：直線x=3對稱，
設P₂（x，0），可得：=3，即x=6-a，
∴P₂（6-a，0），
則PP₂=6-a-（-a）=6-a+a=6．
如圖2，當a＞3時，
∵P與P₁關于y軸對稱，P（-a，0），
∴P₁（a，0），
又∵P₁與P₂關于l：直線x=3對稱，
設P₂（x，0），可得：=3，即x=6-a，
∴P₂（6-a，0），
則PP₂=6-a-（-a）=6-a+a=6．
點評：動手操作既是數學活動的一種形式，也是考查學生對概念理解與操作技能掌握情況的一種有效方式．本題設置了軸對稱變化和點的坐標變化的有關問題，對于考查目標的實現具有很好的作用．題目的背景清晰、明快，設計自然、合理，尤其是第（2）小題設置的問題既具有一定的開放性又重點考查了分類的數學思想，使試題的考查有較高的效度．發揮了試題的整體效應：概念理解與操作技能掌握情況．本題一個考查學生“軸對稱”與坐標的相關知識的試題，學生可以根據自己的理解選擇自由發揮的空間，問題的解決為學生提供了自主探索的空間，考查了學生關于變換與坐標知識的綜合運用能力．其解決的過程體現了數學內在的和諧美，體現了對學生“操作--發現--猜想”的能力的考查，注意了題目的可推廣性，由學生解答本題的情況可以推及學生具有這些特質的情形．