Question

如圖，已知E、F分別為△ABC的邊AB、BC的中點，G、H為AC邊上的兩個三等分點，連EG、FH，且延長后交于點D，則下列說法正確的是

1. A.
   ∠ABC=∠ADC
2. B.
   EG=FH
3. C.
   DE=DF
4. D.
   ∠ADC=3∠GDH

Answer 1

A
分析：連接BG，BH，先由三角形中位線定理可得HF∥BG，EG∥BH，則四邊形FDGB是平行四邊形，再利用平行四邊形的對角線互相平分可得OB=OD，OH=OG，又AG=CH，所以OA=OC，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，得出四邊形ABCH是平行四邊形，從而得到∠ABC=∠ADC．即可判定A正確．
解答：解：連接BG、BH．
∵F是BC中點，G、H是AC上的三等分點，
∴BF=FC，GH=HC，
∴FH∥BG．
同理可得，GE∥BH．
∴四邊形BHDG是平行四邊形．
連接BD，交AC于O，
則BO=DO，GO=HO．
又∵G、H是AC上的三等分點，
∴AG=HC．
∴AG+GO=HC+HO，即AO=CO．
又∵BO=DO，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，A正確．
而根據已知條件無法判定B、C、D正確．
故選A．
點評：本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質，難度中等，關鍵是輔助線的作出．