Question

將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A₁CB₁=∠ACB=90°，∠A₁=∠A=30°．
（1）將圖①中的△A₁B₁C順時針旋轉45°得圖②，點P₁是A₁C與AB的交點，點Q是A₁B₁與BC的交點，求證：CP₁=CQ；
（2）在圖②中，若AP₁=2，則CQ等于多少？
（3）如圖③，在B₁C上取一點E，連接BE、P₁E，設BC=1，當BE⊥P₁B時，求△P₁BE面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，利用ASA即可證明△B₁CQ≌△BCP₁，從而得出結論．
（2）作P₁D⊥CA于D，在RtADP₁中，求出P₁D，在Rt△CDP₁中求出CP₁，繼而可得出CQ的長度．
（3）證明△AP₁C∽△BEC，則有AP₁：BE=AC：BC=：1，設AP₁=x，則BE=x，得出S_△P1BE關于x的表達式，利用配方法求最值即可．
解答：（1）證明：∵∠B₁CB=45°，∠B₁CA₁=90°，
∴∠B₁CQ=∠BCP₁=45°，
∵在△B₁CQ和△BCP₁中，
，
∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA），
∴CQ=CP₁；

（2）作P₁D⊥CA于D，

∵∠A=30°，
∴P₁D=AP₁=1，
∵∠P₁CD=45°，
∴=sin45°=，
∴CP₁=P₁D=，
又∵CP₁=CQ，
∴CQ=；

（3）∵∠P₁BE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°，
∴AC=BC，
由旋轉的性質可得：∠ACP₁=∠BCE，
∴△AP₁C∽△BEC，
∴AP₁：BE=AC：BC=：1，
設AP₁=x，則BE=x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2BC=2，
∴S_△P1BE=×x（2-x）=-x²+x
=-（x-1）²+，
故當x=1時，S_{△P1BE（max）}=．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，解答本題需要我們熟練掌握含30°角的直角三角形的性質、勾股定理及配方法求二次函數的最值，有一定難度．