Question

將兩塊全等的三角板如圖1擺放，其中∠A₁CB₁＝∠ACB＝90°，∠A₁＝∠A＝30°。
【小題1】(1)將圖1中△A₁B₁C繞點C順時針旋轉45°得圖2，點與AB的交點，點Q是與BC的交點，求證：=；
【小題2】(2)在圖2中,若AP₁=,則CQ等于多少?
【小題3】(3)將圖2中△繞點C順時針旋轉到△（如圖3），點與AP₁的交點．當旋轉角為多少度時,有△A P₁C∽△CP₁P₂? 這時線段之間存在一個怎樣的數量關系?.

Answer 1

【小題1】⑴證明：∵∠B₁CB＝45°，∠B₁CA₁＝90°，∴∠B₁CQ＝∠BCP₁＝45°；
又B₁C＝BC，∠B₁＝∠B，∴△B₁CQ≌△BCP₁（ASA）∴CQ＝CP₁
【小題2】⑵解：作P₁D⊥AC于D，∵∠A＝30°∴P₁D＝AP₁；
∵∠P₁CD＝45°，∴＝sin45°＝，∴CP₁＝P₁D＝AP₁；
又AP₁＝，CQ＝CP₁ ，∴CQ＝
【小題3】⑶解：當∠P₁CP₂＝∠P₁AC＝30°時，由于∠CP₁P₂＝∠AP₁C，
則△AP₁C∽△CP₁P₂，    這時，
∴P₁P₂＝CP₁ ．        

解析