Question

如圖，以AD為直徑的半圓O經過Rt△ABC斜邊AB的兩個端點，交直角邊AC于點E，B、E是半圓弧的三等分點，弧BE的長為π，則圖中陰影部分的面積為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：首先根據圓周角定理得出扇形半徑以及圓周角度數，進而利用銳角三角函數關系得出BC，AC的長，利用S_△ABC-S_扇形BOE=圖中陰影部分的面積求出即可．
解答：解：連接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圓弧的三等分點，
∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°，
∴∠BAC=30°，
∵弧BE的長為π，
∴=π，
解得：R=2，
∴AB=ADcos30°=2，
∴BC=AB=，
∴AC==3，
∴S_△ABC=×BC×AC=××3=，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面積相等，
∴圖中陰影部分的面積為：S_△ABC-S_扇形BOE=-=-．
故選：D．
點評：此題主要考查了扇形的面積計算以及三角形面積求法等知識，根據已知得出∴△BOE和△ABE面積相等是解題關鍵．