Question

等腰梯形OABC的下底OC在x軸的負半軸上，底角∠AOC=60°（如圖），若A點的縱坐標為2

3

，AB=4．
①求梯形OABC的面積；
②若一個反比例函數圖象過對角線OB與AC的交點，求此反比例函數解析式．

Answer 1

分析：（1）過A作AE⊥OC于E，過B作BD⊥OC于D，則AB=DE=4，AE=2

3

，在Rt△OAE中，根據含30度的直角三角形三邊的關系得到OE，利用等腰梯形的性質得到CD，然后根據梯形的面積公式計算即可；
（2）連AC、OB交于F點，易確定A點坐標為（-2，2

3

），B點坐標為（-6，2

3

），C點坐標為（-8，0），然后利用待定系數法確定直線OB和AC的解析式，在通過建立方程組求出它們交點的坐標，然后再利用待定系數法求出反比例函數的解析式．

解答：解：（1）過A作AE⊥OC于E，過B作BD⊥OC于D，如圖，
∴AB=DE=4，
∵A點的縱坐標為2

3

，即AE=2

3

，
而∠AOC=60°，
∴OE=

3

3

AE=

3

3

×2

3

=2，
∵四邊形ABCO為等腰梯形，
∴DC=OE=2，
∴OC=2+2+4=8，
∴梯形OABC的面積=

1

2

（4+8）×2

3

=12

3

；

（2）連AC、OB交于F點，如圖，
∵OD=2+4=6，
∴A點坐標為（-2，2

3

），B點坐標為（-6，2

3

），C點坐標為（-8，0），
設直線OB的解析式為y=kx，
把B（-6，2

3

）代入得k=-

3

3

，即直線OB的解析式為y=-

3

3

x①；
設直線AC的解析式為y=kx+b，
把A（-2，2

3

）和C（-8，0）代入得k=

3

3

，b=

8 3

3

，即直線AC的解析式為y=

3

3

x+

8 3

3

②；
解由①②組成的方程組得x=-4，y=

4 3

3

，
∴F點坐標為（-4，

4 3

3

），
設過F點的反比例函數解析式為y=

k

x

，
把F（-4，

4 3

3

）代入得k=-

16 3

3

，
∴所求反比例函數解析式為y=-

16 3

3

x．

點評：本題考查了利用待定系數法求反比例函數和一次函數的解析式．也考查了建立解方程組確定兩直線的交點坐標、等腰梯形的性質以及含30度的直角三角形三邊的關系．