Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，等腰梯形OABC的下底邊OA在x軸的正半軸上，BC∥OA，OC=AB．tan∠BA0=，點B的坐標為（7，4）．
（1）求點A、C的坐標；
（2）求經過點0、B、C的拋物線的解析式；
（3）在第一象限內（2）中的拋物線上是否存在一點P，使得經過點P且與等腰梯形一腰平行的直線將該梯形分成面積相等的兩部分？若存在，請求出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題可通過構建直角三角形來求解，過C作CD⊥OA于D，過B作BE⊥OA于E，在直角三角形OCD和ABE中，可根據B點的縱坐標即CD，BE的長和兩底角的正切值求出AE，OD的長，即可求出C、A的坐標．
（2）根據已知的三點坐標即可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（3）應該有兩個符合條件的P點，以過P且平行于AB的直線為例說明：可設過P且平行于等腰梯形一腰AB的直線與BC、OA的交點為M、N，那么平行四邊形MBAN的面積就是梯形面積的一半，據此可求出BM，AN的長，即可求出BM、AN的長，即可求出M、N的坐標也就求出了直線MN的解析式和拋物線的解析式即可求出P點的坐標，根據拋物線和等腰梯形的對稱性，求出的P點關于拋物線對稱軸的對稱點也應該符合題意．
解答：解：（1）過C作CD⊥OA于D，過B作BE⊥OA于E，
在直角三角形ABE中，BE=4，tan∠BAE=，
∴AE=3，同理可求得OD=3．
因此C（3，4），A（10，0）．

（2）設拋物線的解析式為y=ax²+bx，
則有：，
解得，
∴y=-x²+x．

（3）假設存在這樣的P點，設過P點且與BA平行的直線交BC于M，交AO于N．
易知：BC=DE=4，OA=10，CD=4，
∴S_梯形ABCO=（BC+OA）•CD=28．
∴S_?ANMB=S_梯形ABCO=14
∴BM=AN=
∴M（，4），N（，0）
∴直線MN的解析式為：y=-x+，聯立拋物線的解析式有：
，
解得（不合題意舍去），．
∴P（，）．
根據拋物線和等腰梯形的對稱性可知P點關于拋物線對稱軸的對稱點也應該符合題意，
因此符合條件的P點有兩個：P（，），（，）．
點評：本題考查了等腰梯形的性質、二次函數解析式的確定、以及圖形面積的求法等知識點．