Question

如圖，二次函數的圖象經過點D，與x軸交于A、B兩點。

（1）求c的值；
（2）如圖①，設點C為該二次函數的圖象在x軸上方的一點，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時直線AC的函數解析式；
（3）設點P、Q為該二次函數的圖象在x軸上方的兩個動點，試猜想：是否存在這樣的點P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請舉例驗證你的猜想；如果不存在，請說明理由。（圖②供選用）

Answer 1

解：（1）∵拋物線經過點D（）
∴
∴c=6。
（2）過點D、B點分別作AC的垂線，垂足分別為E、F，設AC與BD交點為M，　
∵AC 將四邊形ABCD的面積二等分，即：S_△ABC=S_△ADC
∴DE=BF
又∵∠DME=∠BMF，∠DEM=∠BFE
∴△DEM≌△BFM
∴DM=BM
即AC平分BD
∵c=6
∵拋物線為
∴
∵M是BD的中點
∴
設AC的解析式為y=kx+b，經過A、M點
∴
解得
∴直線AC的解析式為。
（3）存在．設拋物線頂點為N（0，6），在Rt△AQN中，易得AN=，于是以A點為圓心，AB=為半徑作圓與拋物線在x上方一定有交點Q，連接AQ，再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP、PQ，此時由“邊角邊”易得△AQP≌△ABP。