Question

如圖，已知在直角坐標平面內，點A的坐標為（3，0），第一象限內的點P在直線y=2x上，∠PAO=45度．
（1）求點P的坐標；
（2）如果二次函數的圖象經過P、O、A三點，求這個二次函數的解析式，并寫出它的圖象的頂點坐標M；
（3）如果將第（2）小題中的二次函數的圖象向上或向下平移，使它的頂點落在直線y=2x上的點Q處，求△APM與△APQ的面積之比．

Answer 1

解：（1）過點P作PH⊥OA，垂足為點H．
∵點P在直線y=2x上，
∴設點P的坐標為（x，2x）．
∵∠PAO=45°，PH⊥OA，
∴∠PAO=∠APH=45°．
∴PH=AH=2x．
∵點A的坐標為（3，0），
∴x+2x=3．
∴x=1．
∴點P的坐標為（1，2）．

（2）設所求的二次函數解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
∵圖象經過P（1，2）、O（0，0）、A（3，0）三點，
∴，
解得，
∴所求的二次函數解析式為y=-x²+3x．
頂點M的坐標為（，）．

（3）根據題意，得點Q的坐標為（，3）．
∵S_△AQO=×3×3=，
S_△APO=×3×2=3，
S_{四邊形AMPO}=×1×2+×（2+）×+××=，
∴S_△APM=-3=，S_△APQ=-3=．
∴△APM與△APQ的面積之比為．
另解：根據題意，得點Q的坐標為（，3）．
設圖象的對稱軸與直線AP相交于點N，則點N的坐標為（，）．
∴MN=-=，QN=3-=．
∴MN=QN，
∴，．
∴△APM與△APQ的面積之比為．
分析：（1）根據題意設點P的坐標為（x，2x），又由∠PAO=45°，PH⊥OA，可得PH=AH=2x，又由點A的坐標為（3，0），即可求得x的值，則可求得點P的坐標；
（2）利用待定系數法將點P，O，A的坐標代入解析式即可得到方程組，解方程組即可求得解析式；
（3）根據圖形求得：△APO、△AQO與四邊形AMPO的面積，即可求得△APM與△APQ的面積，則問題得解．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法以及三角形面積的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．