Question

【題目】如圖，已知直線y=-x+b與y軸相交于點B（0，3），與x軸交于點A，將△AOB沿y軸折疊，使點A落在x軸上的點C．

（1）求點C的坐標；

（2）設點P為線段CA上的一個動點，點P與點A、C不重合．聯結PB．以點P為端點作射線PM交AB于點M，使∠BPM=∠BAC．

①求證：△PBC∽△MPA．

②是否存在點P，使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C（-4，0）；（2）①證明見解析，②存在．使△PBM為直角三角形的點P有兩個P1（-，0），P2（0，0）．

【解析】

（1）根據B點坐標求得直線解析式，再求得A點坐標，然后根據A與C關于y軸對稱，據此即可確定C的坐標；
（2）①根據點C與點A關于y軸對稱，即可得到BC=BA，則∠BCP=∠MAP，再根據三角形的外角的性質即可證得∠PMA=∠BPC，從而證得兩個三角形相似；
②首先求得B的坐標，當∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得PO的長，求得P的坐標；
當∠PMB=90°時，則∠PMA═90°時，BP⊥AC，則此時點P與點O重合．則P的坐標可以求得．

（1）解：∵直線y=-x+b與y軸相交于點B（0，3），

∴b=3，

∴直線的解析式為y=-x+3，

令y=0，得到x=4，

∴A（4，0），

∵點C與點A關于y軸對稱，

∴C（-4，0）；

（2）①證明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，

∴∠PMA=∠BPC，

又∵點C與點A關于y軸對稱，且∠BPM=∠BAC，

∴∠BCP=∠MAP，

∴△PBC∽△MPA；

②解：存在．

由題意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）

當∠PBM=90°時，則有△BPO∽△ABO，

∴=，即=，

∴PO=，即：P1（-，0）．

當∠PMB=90°時，則∠PMA═90°，

∴∠PAM+∠MPA=90°，

∵∠BPM=∠BAC，

∴∠BPM+∠APM=90°，

∴BP⊥AC．

∵過點B只有一條直線與AC垂直，

∴此時點P與點O重合，即：符合條件的點P2的坐標為：P2（0，0）．

∴使△PBM為直角三角形的點P有兩個P1（-，0），P2（0，0）．